Ortografía: ahí, hay, ay

¡ay!

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La palabra "ay", escrita sin hache, es una interjección que se usa para "expresar muchos y muy diversos movimientos del ánimo, y más ordinariamente aflicción o dolor", según la RAE. Es por esto que suele ir escrita entre signos de exclamación.
Ejemplo: ¡Ay, qué pena!

hay

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"Hay", escrito con "h" inicial, corresponde a una forma impersonal del verbo "haber" para expresar:

• Que existe o se dispone de alguna cosa. Ejemplo: Hay manzanas en la nevera
• Obligación. Ejemplo: Hoy hay que ir a comprar un paraguas.

ahí

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En cambio, "ahí" -escrito con hache intercalada y tilde en la "i"- es un adverbio de lugar que señala alguna cosa que se encuentra a una distancia media (entre "aquí" y "allí").
Ejemplo: María ha dejado sus libros ahí y se ha ido.

Fuente: www.educacion.uncomo.com